对称多项式，判别式
对于对称多项式 ，存在唯一的 使得 ，其中 。从最高项开始归纳构造即可（也可以找出可能的项待定系数）。
判别式：设 的 个根为 ，定义判别式 ，那么我们知道 为对称多项式，于是可以写成 ，这样就可以只通过系数得出判别式。
注意到
于是我们只需要求出 即能算出判别式，而 为对称多项式，可以表示为 。
我们有 Newton 公式：
当 时，
当 时,
对于 的情况，由 易得。
对于 的情况，同样易得，对 的情况。要证 ，令 ，即得 ，该式可以看作 的情况，故由归纳假设 。将 看作关于 的多项式，那么 ，同理 ，而 ，故 。
结式
我们知道，判别一个多项式是否有重根可以通过求导并求 。设 ，若 ，那么设 ，则 ，设 ，那么根据 可以列出 个方程，存在非零解即 ，其中
设 之根为 ， 之根为 ，那么通过行列变换可以得知 ，而 ，故 ，将 带入，可得
将 带入，
阵
对于 ，可以同理定义 ，k 级子式，秩（存在 阶的非 0 子式），等概念。
可逆 （不等价于 ）
同时，可以定义初等行列变换（交换两行，将一行的 加到另一行，将一行乘 倍）
相似，当
证明： ，因 阶 - 矩阵还可以写成 的形式，因而 可以有 ，代回上式，整理可得
设 ，代回原式，化简得 ，由于两边次数不同，故 ， 。那么证 可逆即可。
在 两边右乘 ，得 ，代入 和 ，再整理得
， 因右边次数为 1 ，因此 ，得 ，故可逆。
阵的标准型（不变因子标准型）
若存在 ，那么可以通过初等行列变换将 的次数降低，由此操作，任意 阵可以化为标准型 ，其中 ，且满足性质 。我们希望证明这 个因子的产生不依赖于我们所做的行列变换。定义 表示 所有 级子式的 gcd，可以知道 独立于行列变换，而 。故 可以作为矩阵的不变因子。
设 ，其伴阵为 ，其满足 ， 的不变因子为 （注意 的不变因子定义为 的不变因子）。
因此 的不变因子组和 相同，我们就找到了一个和 相似的较简单的形式。
Jordan 标准型
设 ，所有 （可重集合）构成初等因子组。（从初等因子组容易换元到不变因子组）
那么 能否相似于 呢？我们只需要说明对两个 阵 和 等价即可（注意到我们不需要构造出解，只需要 相同即可，这样就很轻易证明了），于是我们找到了一种跟简单的形式。
在 中，所有不可约多项式为 ，我们可以对 找一个更好的 ，即 ，其不变因子组为 ，将 称为 标准型。很震撼的是任意一个矩阵相似于一个有两条对角线的矩阵，当然是在 中。
最小多项式
满足 称为 0 化多项式，次数最低的首一 0 化多项式称为最小多项式（很容易证明的是任意零化多项式是最小多项式 的倍数）
容易发现 的最小多项式为 ，那么对于一个 标准型，所有因子最高次项的乘积即为最小多项式（），容易发下这个为 ，即 的最高次不变因子。
那么 Cayley - Hamilton 定理就很自然了，因为 。
