一些结论
（同构），考虑构造映射 即可。不依赖代表元选取，同时 （单），满 …
于是
反例
，则 ，且到 为投影变换
考虑 ，那么可以分解。再设 ，有
，有
代数数域 ，若 满足一个多项式
设 为不可约 之根，考虑 为 之基， ，伴阵再次神奇得出现。同时
对偶空间 ，有 ，其一组基
那么其结构就挺清晰了，即
若 ，若 为线性变换，称 为 不变子空间，容易发现 为不变子空间。
若 为不变子空间，，则存在一组基使得 在基下的矩阵为 ，其中 ，其诱导出的线性变换 ，满足
那么我们知道若 ，那么存在一组基， 在基下的矩阵是个分块矩阵。
为 之最小多项式，则 ，设 为 投影到 的映射，则 为 之多项式。（令 ，取 即可，其中 ）
若 可交换，则 均为 的不变子空间
，包含 的所有 不变子空间的交称为
取 ，设 线性无关，但可以表示 ，则 称为 生成的循环 不变子空间， 为 之伴阵，其中 为 的最小多项式。显然有
为 的不变子空间，其诱导出线性变换 （证明： ，再证线性）
设 是域 上 维线性空间 上的线性变换, 是 的一个非平凡不变子空间, 在 中取一个基 , 把它扩充成 的一个基
则 在 的此基下的矩阵
是 在商空间 的一个基 下的矩阵.
设 的特征多项式分别为 ， 的特征多项式为 ，有
由此可以说明若 在基下的的矩阵的特征多项式 若不可约，则不存在非平凡的不变子空间（若存在，设为 ，则 可分解为 的特征多项式和 的特征多项式
矩阵 的最小多项式为 。反证，设其最小多项式为 ，又有 ，故 。（好像直接用 就行了 …）
是 的可逆变换 则 。（证可逆变换证满射即可）（满射后有单射）
设 ， ， 不变，记 ，其最小多项式为 ， 的最小多项式 （分别证 （对每个 有 ）， （证 零化即可）
为 的最小多项式，，则 的最小多项式为 。
对角化的条件
可对角化 的最小多项式形如 （因为 ，故 之最小多项式为 )
对角化，因为 ，即
为不可约 在 中的根，，（在基 下的矩阵为 之伴阵），那么 没有特征值， 不能写成两个 不变子空间的直和。
的情况
设 ，最小多项式为 不可约， 的特征多项式为 ，则 可分解为 个 不变子空间的直和。
证：归纳，考虑任选一个 ，， 的最小多项式仍为 （，那么其最小多项式 ），其特征多项式为 （因为 在某基下矩阵为 )
那么
矩阵形式： 的最小多项式为 ，特征多项式为 ，那么 相似于
那么假设 的最小多项式为 ，特征多项式为 ，那么 ，其中 （这一部构造基用上面那个归纳），那么 相似于 （丘 P 469）
幂等变换的结构
设 ，满足 ，称 生成的 - 强循环子空间
考虑 ，取一个 ，其生成一个强循环子空间 ，对 继续选取，那么我们可以得出 是若干个 不变的强循环子空间的直和。同时发现 ，那么 为一个特征向量，于是有结论： 可分解为 即 个强循环不变子空间之直和。
证明：书 P149
同时有 级 块的个数 （因为
标准型
设 是域 上 维线性空间 上的线性变换, 如果 的最小多项 式 在 中能分解成一次因式的乘积:
则 中存在一个基，使得 在此基下的矩阵 为 Jordan 形矩阵，其主对角元为 的全部特征值；主对角元为 的 Jordan 块的总数 为
且其中每个Jordan 块的级数不超过 级 Jordan 块 的个数 为
这个 Jordan 形矩阵 称为 的 Jordan 标准形，除去 Jordan 块的排列次序外, 的 Jordan 标准形是唯一的.
需说明 ，证：
1） （因为 ，故相等）
2），任取 ，由 1），有 ，故
有理标准型
设 是域 上 维线性空间 上的线性变换, 如果 的最小多项式 在 中的标准分解式为
其中 , 那么 中存在一个基, 使得 在此基下的矩阵 是由 有理块组成的分块对角矩阵; 中对应于 的有理块的总数 为
其中 级有理块的个数 为
其中 。这个分块对角矩阵 称为 的有理标准形, 除去有理块的 排列次序朴, 的有理标准形是唯一的
于 标准型有类似的结论，证明：高等代数第二版 P376。
广义 Jordan 块
设 是实数域上 维线性空间 上的线性变换, 的最小多项式 在 中的标准分解式含有 , 设在 的有理标准形 中对应于这个不可约多 项式方幂的一个有理块 ( 为
其中
有
高等代数第二版 P388。
