傅里叶!

将 称为三角函数系

函数系中的任意两个函数在长为 的区间上正交，即 ， ， ，

设 ，则

若 能展开为傅里叶级数，则 的傅里叶级数具有唯一性

称为 的傅里叶级数。

定理：，周期为 ，且它的傅里叶级数全为 0，则 。

• 证明由 三角多项式 ， ，然后构造一个 。

求傅里叶级数：奇函数只用求 即可，偶函数需要求

奇偶延拓：设 在 可积，我们将它奇偶延拓到 然后计算傅里叶级数得到正弦级数和余弦级数

周期为 ：设 即得 ，其中

迪利克雷积分

考虑傅里叶级数的部分和序列

令 ，称 为迪利克雷积分， 为迪利克雷核。

固定 ，研究 是否以 作为极限。首先有 ，设 ，则 ，在 可以使用 R-L。

黎曼局部优化定理： 在 有瑕点绝对可积， 在 的敛散性只与 在 有关。

继续上面的研究，我们有 和 当 时，收敛到相同的极限。设 ，则 在 连续，从而 在 可积（ 本来就要求可积的条件），于是可以用 R-L。同时可以得到

于是，我们可以就考虑

当 在 可导时，等式成立。

我们还希望探寻其他成立的条件，若 满足 在 绝对可积，由 R-L 即成立。

因此发现函数在 的邻域 - Holder 连续 时，傅里叶级数也可以收敛。

另外，若函数在 单调，傅里叶级数也收敛，证明如下：

因此我们知道， 分段可微，单调 和 Holder 连续时，傅里叶级数点收敛，收敛到 。

连续函数的三角多项式一致逼近

设 是以 为周期的连续函数，则存在 ，使得 时， 有

事实上，取 即可

将 称为费叶核，在上式令 ，有 ，那么证明 即可，由 一致连续易得 一致收敛到 。

因此若 的傅里叶级数处处收敛，则必然处处收敛到 。

傅里叶级数的均方收敛

若 则称函数列 均方收敛到 。

对于任意一个三角多项式，我们来计算它的均方误差，设 ，

可以得到傅里叶级数是对 的最佳逼近，同时若 平方可积，则其傅里叶部分和序列满足 （先用一个连续函数来逼近 ）

帕塞瓦尔等式：

广义帕塞瓦尔：

傅里叶级数的一致收敛性：若 可积，则 的傅里叶级数一致收敛到

这是由于 ，于是 的傅里叶级数为 ，于是

因此绝对收敛。

傅里叶级数逐项微分定理： 若 可积， ，则

逐项积分定理：设 可积，则

构造 ，由帕塞瓦尔等式即得。