数分呜呜呜

函数项级数

数列 收敛， 称为收敛点，所有收敛点构成收敛域 ，收敛域 存在极限函数

• 例子： 的极限函数在 连续，在 不连续。

  即，极限函数没有继承原函数的性质

  研究： 在 连续， 在 是否连续。是否有 。是否有 。

一致收敛

为定义在 上的函数，若 存在 ，当 时，对一切 ，有 ，则称 一致收敛到

不一致收敛：存在 ，对任意 存在 以及 ，使得

或：存在 使得 。

或：

• ，证明 。
• 一致收敛，但是 不一致收敛的例子：

一致有界

若 则一致有界

• 一致收敛， 一致有界， 有界，则 一致收敛。反例：

Cauchy 判别法：

• ，在 一致收敛，则 在 一致收敛

最值判别： （充要）

定义，绝对一致收敛， 一致收敛。

• 若 收敛，则 绝对一致收敛。

迪利克雷判别

在 上一致有界，对每个 关于 是单调的，且 ，则 一致收敛

阿贝尔判别

一致收敛，对固定的 ， 关于 单调，且 在 上一致有界

• 绝对收敛 + 一致收敛 绝对一致收敛

  例： ，一致收敛：，绝对收敛（点收敛）：

极限函数连续性

，，则

连续的函数项序列 一致收敛时，

（ 在 一致收敛时，并且有 ，则 存在且 ）

定义： 在 一致收敛，则称 在 内闭一致收敛

• 若 ， 在 内闭一致收敛，则
• 单调趋于 0，证明 在 连续。（证其内闭一致收敛即可）

若 但 ，则 必定不一致收敛

Dini

在区间连续，对 ，再设 （点收敛），则 在 连续的充要条件是

（假设连续但不一致收敛，则存在 使得 ，那么 有聚点

于是

反例：，

函数列积分收敛

， （开区间用内闭一致收敛即可）

函数列求导收敛

设 在 可微，且 1）存在 使得 存在，2） ，则有：1）存在 使得 ，2） 在 可微且

1）

2）构造 ，有 ，故 在 一致收敛到 ，又 ，故

（导函数一致收敛 极限函数可导）

函数序列构造函数

在 不连续的函数， ，换为 ， 在 导函数不连续

• 处处连续处处不可导， 并以 1 为周期延拓，

等度连续

若 使得 则称 等度连续

对等度连续序列，点收敛即一致收敛【闭区间】（课件 5.8）

幂级数

形如 的函数项级数称为幂级数

收敛域 收敛

求法：柯西判别， 。（由柯西判别，，当 时收敛。同时 （不能用上极限）

幂级数的性质

在收敛域的子区间一致收敛

时收敛，则 （因为一致收敛）

幂级数展开

设 在 内成立 ，则称 在 可展成幂级数

若 在 处有任意阶导数，则 称为 的泰勒级数。

若 的某个邻域成立 ，则 称为 在该邻域的泰勒展开。

在邻域可展开的条件

对

求泰勒展开式，转换为初等的再算

连续函数的多项式逼近

对 ，存在 使得对一切 ，有 则称 在 上可被多项式逼近（存在函数列 （魏尔斯特拉斯定理）

上 可被多项式逼近，用 再展开，那么任意 可以被逼近

那么我们就可以多项式逼近 。那么任意一个分段线性函数可以被多项式逼近。然后使用切分，可以说明任意 可以被多项式逼近。

• 是否一致收敛，当 时，由 ， 时取 ，故 一致收敛。当 ，由 Cauchy，对任意 ，取 ， ，故不一致收敛。

• 证明 是 的。对 考虑， 在 一致收敛，所以对 存在导函数

• 在区间 上一致连续，证明 一致收敛

  ，存在 使得 时